Sobre as Metáforas e os Pontos de Vista

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Sobre as Metáforas e os Pontos de Vista

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Adérito Araújo

Professor associado do Departamento de Matemática, Universidade de Coimbra

O zero é a maior metáfora, o infinito a maior analogia, a existência o maior símbolo.\ Fernando Pessoa, Aforismos e Afins.

Arranjei o meu estilo estudando Matemática e ouvindo um pouco de música. — João Sebastião Bach. Conhece o Concerto Brandeburguês n.º 5? Conhece com certeza essa coisa tão simples, tão harmoniosa e definitiva que é um sistema de três equações a três incógnitas. Resolvi milhares de equações. Depois ouvia Bach. Consegui um estilo.\ Herberto Helder, Os Passos em Volta.

«Se eu quisesse, enlouquecia.» Assim abre Os Passos em Volta, de Herberto Helder. É uma frase belíssima, que nos arrebata de imediato e nos lança no coração de uma das mais notáveis e fascinantes obras da literatura portuguesa contemporânea. Não sei escrever sobre Herberto Helder, assim como não saberia transmitir a beleza dos seus textos. Sei apenas que a eles volto com frequência, e a cada regresso descubro novas interpretações, perspetivas inesperadas, encantos surpreendentes. E isso é lindo!

Também não sei se conseguiria descrever a beleza de um sistema de três equações a três incógnitas, «essa coisa simples, tão harmoniosa e definitiva», para o narrador de Herberto Helder, e tão árida e fria para tantos outros. Subscrevo a opinião de Paul Erdős, o grande matemático húngaro do século XX, que, ao ser questionado sobre por que os números são belos, respondeu: «É como perguntar porque é que a Nona Sinfonia de Beethoven é bonita. Se não percebes o motivo, ninguém te poderá explicar».

Já muito se escreveu sobre a beleza da matemática. Os argumentos mais recorrentes são de inspiração platónica, para quem o carácter abstrato da matemática representava o pináculo da beleza. Essa beleza residia na harmonia, na proporção e na perfeição dos números e das formas geométricas, concebidos como entidades de um mundo ideal, imutável e não-contingente. Erdős, ateu convicto, apreciava a ideia de que Deus possuía um livro contendo as demonstrações matemáticas mais elegantes e concisas: os matemáticos não precisam de acreditar em Deus; basta‑lhes acreditar no Livro e empenhar‑se em revelar essas demonstrações perfeitas.

Uma visão diferente surge em Dom Quixote. Arquétipo do idealista ingénuo e sonhador, o cavaleiro vê a beleza da matemática sobretudo na sua utilidade prática. Ao elogiar as virtudes da ciência da cavalaria andante — que dizia ser tão bela quanto a poesia —, afirma que, além de conhecer todas as ciências do mundo, um cavaleiro deve também conhecer a matemática, «porque a cada passo se lhe oferecerá ensejo de aplicá‑la». Apesar de subtil, a referência à utilidade deixa claro que não é a beleza formal que encanta o nobre cavaleiro. Essa perfeição ele reserva para a sua «dulcissima Dulcineia de Toboso», «tão bela quanto prendada», «linda sem mancha, grave sem soberba», cuja formosura e virtude ultrapassam tudo quanto se pode imaginar.

Convém começar por nos situarmos: afinal, o que é a matemática?

Não existe consenso sobre o que é a matemática, e a sua definição tem variado ao longo do tempo, refletindo a diversidade de interesses e atividades a que os matemáticos se dedicam. Pode ser entendida como a ciência que estuda quantidades, estruturas, espaços e variações através do raciocínio lógico e abstrato ou, nas palavras de Henri Poincaré, como «a arte de dar o mesmo nome a coisas diferentes». Saunders Mac Lane, cofundador da teoria das categorias, descreveu‑a como o estudo das «relações entre relações», enfatizando a forma e a abstração mais do que o mero cálculo. Para Terence Tao, uma das grandes estrelas da matemática contemporânea, é um campo multifacetado, onde se exploram padrões, relações e estruturas abstratas através do raciocínio e da experiência. De forma abrangente, podemos vê‑la como a «ciência dos padrões», uma ideia que remonta ao matemático britânico G. H. Hardy, que escreveu: «Um matemático, tal como um pintor ou um poeta, é um criador de padrões. Se os seus padrões são mais permanentes do que os deles, é porque são feitos com ideias.»

Essa busca de padrões transporta‑me ao Sr. Palomar, de Italo Calvino, em pé, junto ao mar, à procura de «ver uma onda». Ao contrário da figura solitária em O Viajante sobre o Mar de Névoa, de Caspar David Friedrich, que se confronta com o sublime do horizonte enevoado e se deixa tocar pela sua grandiosidade, Palomar aproxima‑se da realidade com atenção meticulosa, procurando compreender os padrões e desvendar uma ordem oculta. Observa cada detalhe, cada movimento da água. Poder‑se‑ia dizer que adota uma atitude quase matemática. Mas falta‑lhe a linguagem. Faltam‑lhe os símbolos e as metáforas que lhe permitiriam aceder a esse ponto de vista e compreender a essência do fenómeno. Por isso, acaba por perder a paciência e, no final, «afasta‑se pela praia, tenso e nervoso como quando chegou, e ainda mais inseguro acerca de tudo».

O argumento que quero defender é que as fórmulas, os símbolos e as equações matemáticas são, precisamente, essas metáforas poderosas. O que o matemático faz é recorrer a elas para oferecer novos pontos de vista que ajudam a compreender o mundo, construindo narrativas que rivalizam com o que de mais belo se escreveu na literatura universal ou com as obras mais sublimes de Johann Sebastian Bach.

Quando Einstein formulou E = mc2, ofereceu‑nos uma metáfora que liga energia e matéria através de uma constante universal, ao mesmo tempo que nos proporcionou uma nova perspetiva sobre o mundo. De forma semelhante, a identidade de Euler eiπ+1=0, frequentemente citada como exemplo de profunda beleza matemática, conecta as cinco constantes fundamentais da matemática através de três operações elementares: adição, multiplicação e exponenciação. Trata‑se também de uma belíssima metáfora, que relaciona rotações no plano com números complexos, revelando ligações profundas entre álgebra, análise e geometria, e fornecendo à física a linguagem necessária para representar ondas e campos, permitindo descrever tanto a mecânica quântica como o eletromagnetismo.

Um terceiro exemplo relaciona‑se com o meu fascínio inicial pela matemática. Tudo começou quando tomei consciência da inexorabilidade do processo de contagem. Ao perceber que poderia contar «para sempre», deparei‑me com a ideia de infinito de forma clara e arrebatadora. Como escreveu Tobias Dantzig, no seu belíssimo livro Número, a Linguagem da Ciência: «É no limiar da matemática que se nos depara o dilema do infinito, como o dragão lendário guardando a entrada do jardim encantado». Foi ao contemplar essa besta magnífica que me apaixonei pela matemática.

A ideia de infinito remete, naturalmente, para a questão: o que é um conjunto infinito? A resposta do matemático alemão Richard Dedekind a essa pergunta é, ao mesmo tempo, profunda e elegante: um conjunto é infinito se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre ele e um seu subconjuntos próprio. O conjunto dos números naturais {0, 1, 2, …} é infinito porque é possível associar a cada número natural o seu dobro, criando assim uma correspondência perfeita entre o conjunto dos naturais e o seu subconjunto próprios dos números pares {0, 2, 4, …}. Isso mostra que os números naturais e os números pares têm a mesma cardinalidade. É um resultado surpreendente que oferece um ponto de vista novo, profundamente revolucionário, sobre a noção de infinito. De certa forma, a matemática conseguiu humanizar a «besta» que me assombrava no centro do labirinto.

Há uma história, na própria história da matemática, que ilustra de modo singular a ideia que quero defender sobre pontos de vista e metáforas. A ação decorre no final do século XIX, numa época em que a matemática se encontrava à beira de uma profunda crise existencial, precisamente ligada às questões do infinito.

Após os extraordinários avanços do cálculo por Newton e Leibniz, e dos contributos de Laplace, Euler e Fourier no estudo das equações com derivadas parciais, consolidou‑se a convicção de que a matemática possuía a capacidade de resolver todos os problemas da mecânica. Tudo parecia poder ser reduzido a uma fórmula determinística que, uma vez conhecida, permitiria descrever com precisão todos os fenómenos físicos, refletindo a ideia iluminista de que a verdadeira beleza da matemática reside na sua utilidade.

Apesar dessa confiança quase absoluta, havia problemas que teimavam em escapar ao controle. Em 1884, o matemático sueco Gösta Mittag‑Leffler propôs ao rei Óscar II de Suécia e Noruega organizar um prémio internacional de matemática, em homenagem ao 60.º aniversário do monarca. O prémio destinava‑se a soluções de problemas ainda não resolvidos e consistia numa medalha de ouro e numa generosa quantia em dinheiro.

O problema que mais atraiu atenção estava relacionado com a estabilidade do sistema solar: será que o movimento de um conjunto de massas sujeitas apenas à gravitação newtoniana poderia ser descrito de forma completa e explícita, à semelhança do que acontecia com o problema dos dois corpos? Poderia a acumulação das interações planetárias ao longo do tempo alterar substancialmente a evolução do sistema?

Ninguém conseguiu fornecer a resposta esperada. Ainda assim, o prémio acabou por ser atribuído ao matemático francês Henri Poincaré que, não tendo encontrado uma solução em forma de fórmula fechada, se distinguiu por oferecer um ponto de vista original sobre o problema. Em vez de procurar uma expressão analítica global, válida para todos os tempos, propôs uma abordagem qualitativa, centrada na geometria do espaço de fases e no estudo do comportamento das trajetórias.

No processo, Poincaré cometeu um erro. Um erro técnico, subtil, relacionado com a estabilidade de certas soluções periódicas. O erro foi posteriormente identificado e corrigido, não enfraquecendo o resultado, mas antes, curiosamente, reforçando a sua importância conceptual. Essa correção revelou a extrema sensibilidade do sistema às condições iniciais e a impossibilidade de extrapolar conclusões globais a partir de análises meramente locais. Trajetórias que se entrelaçavam de forma inextricável, regiões do espaço de fases onde a previsibilidade se desfazia, não por falta de leis, mas por excesso de complexidade, mostraram que o que parecia estável numa perspetiva local revelar‑se dramaticamente instável quando observado numa perspetiva global. Como eco das palavras de Beckett — «Tenta outra vez. Falha outra vez. Falha melhor.» —, o erro de Poincaré demonstrou que a falha é condição de um entendimento mais profundo e subtil da complexidade.

Foi nesse contexto que emergiu o famoso teorema da recorrência de Poincaré. Num sistema mecânico conservativo, dizia ele, quase todas as trajetórias regressam arbitrariamente perto do seu estado inicial após um tempo suficientemente longo. Este resultado, aparentemente paradoxal à luz da intuição termodinâmica, sublinha a complexidade inerente à dinâmica determinística e desafia a ideia da previsibilidade absoluta. O determinismo das equações não garante, afinal, a previsibilidade dos fenómenos.

A distinção entre comportamento local e global marcou uma rutura decisiva com o ideal laplaciano de uma mecânica totalmente previsível. As ideias pioneiras de Poincaré lançaram as bases da moderna teoria dos sistemas dinâmicos e influenciaram profundamente o desenvolvimento posterior da teoria do caos. Conceitos hoje familiares, como dependência sensível das condições iniciais, espaço de fase, emaranhamento quântico e estruturas fractais, encontram aqui a sua origem intelectual.

O fracasso em encontrar uma fórmula fechada revelou‑se, paradoxalmente, um dos momentos mais férteis da história da matemática: o instante em que se compreendeu que a complexidade e a imprevisibilidade não são defeitos do nosso conhecimento, mas sim características intrínsecas dos próprios sistemas determinísticos.

E é deste ponto de vista sobre a complexidade e a recorrência que parto e regresso à literatura. Manuel António Pina, no seu primeiro livro de poesia Ainda não É o Fim nem o Princípio do Mundo. Calma É apenas Um pouco Tarde, de 1974, coloca a seguinte epígrafe:

Diz-se Revolução\ o Movimento de um Corpo que,

descrevendo uma curva fechada,

passa sucessivamente pelos mesmos Lugares.

Mais tarde, num ensaio sobre poesia e revolução, Pina revisita a epígrafe e pergunta: «Porque regressa sempre a poesia a Homero, a Dante, a Camões (…) às mesmas formas e aos mesmos processos, como se a poesia fosse uma espécie de língua universal, adquirida como todas as línguas e mutante como todas as línguas?». Há aqui uma inesperada afinidade de pontos de vista comuns entre a matemática e a poesia.

Termino como no início ou, quem sabe, no centro do labirinto. Arranjei o meu estilo estudando Matemática e ouvindo um pouco de música. Mas, em vez de Bach, a minha referência foi a cultura popular portuguesa. Cheguei à Mulher da Roda através das imagens gravadas pela RTP, em 1970, nas margens do Zêzere, para a série documental O Povo que Canta: Vozes e Imagens, de Michel Giacometti e Alfredo Tropa. O registo é silencioso, quase furtivo, mas permite sentir o movimento da roda e ouvir o canto, frágil e profundo, que se desenrola como um fio de tempo, como se cada volta guardasse memórias, histórias e ecos de vida:

Esta roda está parada

Ai por falta de tocador

Ai a roda já pode seguir\ Ai que a toca o meu amor.

O ciclo repete‑se, mas os pés da «tocadora de roda anónima» já não são os mesmos. Nós também não. E em cada ciclo, em cada gesto, em cada verso, cada regresso é único. E isto é lindo!

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